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Die Aleph-Funktion, benannt nach dem ersten Buchstaben des hebräischen Alphabets und auch als ℵ ℵ {\displaystyle \aleph } geschrieben, ist eine in der Mengenlehre, genauer in der Theorie der Kardinalzahlen, verwendete Aufzählung aller unendlichen Kardinalzahlen.

• Definition

• Eigenschaften

• Siehe auch

• Literatur

Die Klasse der unendlichen Kardinalzahlen ist unter Verwendung des Auswahlaxioms in der Klasse O n {\displaystyle \mathbf {On} } der Ordinalzahlen enthalten, wobei jede Kardinalzahl κ κ {\displaystyle \kappa } mit der kleinsten zu κ κ {\displaystyle \kappa } gleichmächtigen Ordinalzahl identifiziert wird. Ferner ist das Supremum einer Menge von Kardinalzahlen stets wieder eine Kardinalzahl. Daher gibt es genau einen Ordnungsisomorphismus ℵ ℵ {\displaystyle \aleph } von O n {\displaystyle \mathbf {On} } auf die Klasse der unendlichen Kardinalzahlen. Den Wert von ℵ ℵ {\displaystyle \aleph } an der Stelle α α {\displaystyle \alpha } bezeichnet man mit ℵ ℵ α α {\displaystyle \aleph _{\alpha }} , das heißt, ℵ ℵ α α {\displaystyle \aleph _{\alpha }} ist die α α {\displaystyle \alpha } -te unendliche Kardinalzahl.

Die Aleph-Funktion lässt sich mit transfiniter Rekursion wie folgt definieren:

• ℵ ℵ 0 = | ω ω | {\displaystyle \aleph _{0}=\left|\omega \right|} ist kleinste unendliche Ordinalzahl und damit auch kleinste unendliche Kardinalzahl,

• ℵ ℵ α α + 1 = min κ κ > ℵ ℵ α α κ κ {\displaystyle \aleph _{\alpha +1}=\min _{\kappa >\aleph _{\alpha }}\kappa } , also die kleinste Kardinalzahl, die größer als ℵ ℵ α α {\displaystyle \aleph _{\alpha }} ist,

• ℵ ℵ λ λ = sup α α < λ λ ℵ ℵ α α {\displaystyle \aleph _{\lambda }=\sup _{\alpha <\lambda }\aleph _{\alpha }} für Limes-Ordinalzahlen λ λ {\displaystyle \lambda } .

Die kleinste unendliche Kardinalzahl ist ℵ ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} , die Kardinalität der abzählbar unendlichen Mengen. Die Nachfolger-Kardinalzahl, das heißt die kleinste Kardinalzahl größer als ℵ ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} , ist ℵ ℵ 1 {\displaystyle \aleph _{1}} , und so weiter. Die Frage, ob ℵ ℵ 1 {\displaystyle \aleph _{1}} gleich der Mächtigkeit der Menge der reellen Zahlen ist, ist als Kontinuumshypothese bekannt.

Allgemein ist ℵ ℵ α α {\displaystyle \aleph _{\alpha }} eine Nachfolger-Kardinalzahl, falls α α {\displaystyle \alpha } eine Nachfolger-Ordinalzahl ist, anderenfalls eine Limes-Kardinalzahl.

Üblicherweise bezeichnet ω ω {\displaystyle \omega } die kleinste unendliche Ordinalzahl. Diese ist gleich ℵ ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} , aber als Index für die Aleph-Funktion verwendet man lieber die Ordinalzahl-Schreibweise. ℵ ℵ ω ω {\displaystyle \aleph _{\omega }} ist damit die kleinste Limes-Kardinalzahl und kann als sup n < ω ω ℵ ℵ n {\displaystyle \sup _{n<\omega }\aleph _{n}} geschrieben werden.

Es gilt stets α α ≤ ≤ ℵ ℵ α α {\displaystyle \alpha \leq \aleph _{\alpha }} für alle Ordinalzahlen α α {\displaystyle \alpha } . Man kann zeigen, dass es Fixpunkte geben muss, das heißt solche Ordinalzahlen α α {\displaystyle \alpha } , für die α α = ℵ ℵ α α {\displaystyle \alpha =\aleph _{\alpha }} gilt. Der kleinste Fixpunkt ist der Limes der Folge ℵ ℵ 0 , ℵ ℵ ℵ ℵ 0 , ℵ ℵ ℵ ℵ ℵ ℵ 0 , … … {\displaystyle \aleph _{0},\aleph _{\aleph _{0}},\aleph _{\aleph _{\aleph _{0}}},\ldots } , der informal als ℵ ℵ ℵ ℵ ⋱ ⋱ {\displaystyle \aleph _{\aleph _{\ddots }}} dargestellt wird. Ebenso sind schwach unerreichbare Kardinalzahlen Fixpunkte der Aleph-Funktion.

• Anfangszahl

• Beth-Funktion

• Gimel-Funktion

• Georg Cantor: Über unendliche, lineare Punktmannigfaltigkeiten. Arbeiten zur Mengenlehre aus den Jahren 1872–1884 (= Teubner-Archiv zur Mathematik. Bd. 2, ISSN 0233-0962). Herausgegeben und kommentiert von G. Asser. Teubner, Leipzig, 1884.

• Thomas Jech: Set Theory. The Third Millennium Edition, revised and expanded. Springer, Berlin u. a. 2003, ISBN 3-540-44085-2.